Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，若a＞b＞c且f（1）=0，
（1）证明f（x）的图象与x轴有两个交点；
（2）证明函数f（x）的一个零点小于；
（3）若f（m）=-a，试判断f（m+3）的符号，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证证明f（x）的图象与x轴有两个交点，只须由△＞0得图象与x轴有两个交点即可；
（2）先由b=-a-c，a＞b＞c得a＞-a-c＞c且a＞0，所以有a+2c＜0从而得出，而抛物线f（x）开口向上，所以函数f（x）必有一个零点小于．
（3）先设f（x）=0的根为x₁，x₂，（x₁＜x₂）；由公式：及不等式的性质得到．又f（m）=-a＜0从而推得（m+3）＞f（x₂）=0．
解答：解：由f（1）=0得a+b+c=0，即b=-a-c
（1）证明：因为a＞b＞c，所以△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²＞0
所以f（x）的图象与x轴有两个交点．
（2）证明：由b=-a-c，a＞b＞c得a＞-a-c＞c且a＞0，所以有a+2c＜0，（7分）
所以，而抛物线f（x）开口向上，所以函数f（x）必有一个零点小于．
（3）设f（x）=0的根为x₁，x₂，（x₁＜x₂）；
则=；
又∵，，∴．∴．
又f（m）=-a＜0，∴x₁＜m＜x₂⇒m+3＞x₂⇒f（m+3）＞f（x₂）=0．
点评：本题属代数推理题，将二次函数、二次方程与不等式结合起来考查．探求二次函数背景下的不等式问题，实质是将二次函数的有关性质进行适当转化．