Question

函数f（x）=x（|x|-1）在[m，n]上的最小值为-

1

4

，最大值为2，则n-m的最大值为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  5

  2

  +

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

分析：根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．

解答：解：当x≥0时，f（x）=x（|x|-1）=x²-x=（x-

1

2

）-

1

4

≥-

1

4

，
当x＜0时，f（x）=x（|x|-1）=-x²-x=（x+

1

2

）+

1

4

，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥0时，由f（x）=x²-x=2，解得x=2．
当x=

1

2

时，f（

1

2

）=-

1

4

．
当x＜0时，由f（x）=）=-x²-x=-

1

4

．
即4x²+4x-1=0，解得x=

-4± 42+4×4

2×4

=

-4± 32

8

=

-4±4 2

8

=

-1± 2

2

，
∴此时x=

-1- 2

2

，
∵[m，n]上的最小值为-

1

4

，最大值为2，
∴n=2，

-1- 2

2

≤m≤

1

2

，
∴n-m的最大值为2-

-1- 2

2

=

5

2

+

2

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．