Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若椭圆C上任一点T与两交点连线所得的三角形面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k₁，k，k₂（其中k＞0），若k₁，k，k₂恰好构成公比不为1的等比数列，求k的值．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆C上任一点T与两焦点连线所得的三角形面积的最大值为$\sqrt{3}$可知$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$•b=$\sqrt{3}$，结合e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$计算即得结论；
（2）通过设直线l的方程为：y=kx+m（其中k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程、利用韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$、△=16（1+4k²-m²）＞0，利用k²=k₁k₂代入化简计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆C上任一点T与两焦点连线所得的三角形面积的最大值为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$，即$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$•b=$\sqrt{3}$，
又∵e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2b，ab=2，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程为：y=kx+m（其中k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l的方程代入椭圆方程，消去y整理得：
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁，k，k₂恰好构成公比不为1的等比数列，
∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即k²•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=k²•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+km•（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+m²，
整理得：m²-4k²m²=0，
∵m≠0，
∴k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$（舍）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．