Question

13．已知函数f（x）=lnx-x²+x
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1，（x＞0）．令f′（x）＜0，即$\frac{1}{x}$-2x+1＜0，解出即可得出；
（2）x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1化为：a＞$\frac{2lnx+2x+2}{{x}^{2}+2x}$=g（x），可得：对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1恒成立，?a＞g（x）_max，x＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1，（x＞0）．
令f′（x）＜0，即$\frac{1}{x}$-2x+1＜0，解得1＜x．
∴函数f（x）的单调递减区间是[1，+∞）．
（2）∵x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1化为：a＞$\frac{2lnx+2x+2}{{x}^{2}+2x}$=g（x），
∴对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1恒成立，?a＞g（x）_max，x＞0．
g′（x）=$\frac{2（x+1）（1-lnx）}{（{x}^{2}+2x）^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜e，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得e＜x，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=e时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（e）=$\frac{4+2e}{{e}^{2}+2e}$=$\frac{2}{e}$．
∴a$＞\frac{2}{e}$．
∴整数a的最小值为1．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．