Question

【必做题】(本题满分10分)

如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，，为的中点．

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值；

   （Ⅲ）在上是否存在一点，使平面？如果存在，求出的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【必做题】(本题满分10分)

如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，，为的中点．

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值；

   （Ⅲ）在上是否存在一点，使平面？如果存在，求出的长；若不存在，说明理由．

提示：如图，以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，
，，，．    ……2分
（Ⅰ），，
所以，即．        ……2分
（Ⅱ）平面的法向量为．
设平面的法向量为，．
由得所以
取，得．
所以，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为．             ……6分
（Ⅲ）假设在存在一点， 设，
因为，故，
所以，所以．
因为平面，所以与平面的法向量共线，
所以 ，解得，   
所以，即，所以．     ……10分

点评：该题考查空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量的共线与垂直、直线的方向向量与平面的法向量；是中档题。