Question

【题目】已知圆，圆心为，定点，P为圆上一点，线段上一点N满足，直线上一点Q，满足.

(Ⅰ) 求点Q的轨迹C的方程；

(Ⅱ) O为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹C交于不同的两点A，B. 当且满足时，求△OAB面积S的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据已知条件结合椭圆的定义求出曲线的方程．

（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系建立关系式，进一步求出参数的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）∵

∴ N为的中点

∵

∴ QN为线段的中垂线

∴

∵

∴由椭圆的定义可知Q的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，

设椭圆的标准方程为，

则，

∴.

∴点Q的轨迹C的方程为.

（Ⅱ）∵圆O与直线相切，

∴，即，

由，消去y整理得.

∵直线与椭圆交于两个不同点，

∴，

将代入上式，可得，

设，

则，

∴，

∴，

∴，

∵，解得.

满足.

又，

设，则.

∴ ，

∴

故△OAB面积S的取值范围为.