Question

已知函数f（x）=x²-cosx，对于[-

π

2

，

π

2

]上的任意x₁，x₂，有如下条件：①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂；④x₁＞|x₂|．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是

②③④

．

Answer 1

分析：利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．

解答：解：∵f′（x）=2x+sinx，
∴当x=0时，f′（0）=0；当x∈[-

π

2

，0)时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；当x∈(0，

π

2

]时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．
∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵?x∈[-

π

2

，

π

2

]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数．
根据以上结论可得：
①当x₁＞x₂时，则f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|，则f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③当|x₁|＞x₂时，则f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）恒成立；
④x₁＞|x₂|时，则f（x₁）＞f（|x₂|）=f（x₂）恒成立．
综上可知：能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的有②③④．
故答案为②③④．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、判定函数的奇偶性等是解题的关键．