Question

【题目】已知椭圆 （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F1 ， F2的距离之和为2 ，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在同时满足①②两个条件的直线l？
①过点M（0， ）；
②存在椭圆上与右焦点F2共线的两点A、B，且A、B关于直线l对称．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆 （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2 ，离心率为 ，

∴ ，∴a= ，c=1，b= =1，

∴椭圆的标准方程为 =1．

（2）解：①假设存在符合条件的直线l，

当直线l与y轴重合时，两点A、B可位于长轴两个端点，符合条件．

此时l的方程为x=0；

②当直线l与x轴平行时，不符合条件；

③当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，

由F2（1，0），可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线l的方程为y=﹣ ，

联立直线AB与椭圆方程 ，

化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴ ， ，

y1+y2=k（x1+x2）﹣2k= ，

∴AB的中点坐标为G（ ， ）．

结合题意知点G在直线l上，∴ =﹣ + ，

整理得：2k2﹣3k+1=0，解得k=1或k= ，

此时直线l的方程为y=﹣x+ 或y=﹣2x+ ．

综上所述，存在符合条件的直线l，方程分别为x=0，y=﹣x+ 或y=﹣2x+

【解析】（1）由椭圆定义和离心率，列出方程组，由此能求出椭圆的标准方程．（2）当直线l与y轴重合时，l的方程为x=0；当直线l与x轴行时，不符合条件； 当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），直线l的方程为y=﹣ ，联立直线AB与椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、根的判别式能求出结果．