Question

【题目】已知函数f（x）=loga ，g（x）=loga（x+2a）+loga（4a﹣x），其中a＞0，且a≠1．
（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；
（2）已知区间D=[2a+1，2a+ ]满足3aD，设函数h（x）=f（x）+g（x），h（x）的定义域为D，若对任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，整理得（x+2a）（x﹣2a）＞0，解得x＜﹣2a，或x＞2a，

∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2a）∪（2a，+∞）．

又∵ = ，

∴f（﹣x）=f（x），

∴f（x）为奇函数

（2）解：由已知3a[2a+1，2a+ ]，

∴2a+1＞3a，或2a+ ＜3a，即0＜a＜1，或a＞ ．

又∵要使g（x）有意义，就须使x+2a＞0，且4a﹣x＞0，即﹣2a＜x＜4a，

结合（1）中f（x）的定义域知函数h（x）的自变量x须满足2a＜x＜4a．

由题知h（x）在区间[2a+1，2a+ ]上有意义，

∴ 解得a＞ ，

∴ ＜a＜1，或a＞ ．

∵h（x）=f（x）+g（x）= +loga（x+2a）+loga（4a﹣x）= ，

∴|h（x）|≤2恒成立，即为| |≤2恒成立．

因为 3a[2a+1，2a+ ]，所以h（x）≠2，

即题意转化为对任意x∈[2a+1，2a+ ]，不等式﹣2≤ 应恒成立．

①当 时，上式等价于a2＜﹣x2+6ax﹣8a2≤a﹣2应恒成立．

由于左端a2＜﹣x2+6ax﹣8a2，即（x﹣3a）2＜0，显然不成立．

②当 时，问题转化为a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2应恒成立．

对于右端﹣x2+6ax﹣8a2＜a2，等价于（x﹣3a）2＞0，显然成立．

研究左端 ≤0成立的条件．

令 ，对称轴x=3a，开口向上．

由 知 ，故h（x）在区间[2a+1，2a+ ]上是减函数，

∴h（x）max=h（2a+1），

∴要使左端成立，只需h（2a+1）＜0成立，

即需 ，

也就是需2a3﹣a2﹣1＞0，

也就是（a﹣1）（2a2+a+1）＞0，

只须a＞1，而已知 ，故当 时，不等式a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2恒成立．

综上所述，满足条件的a的取值范围为（ ，+∞）

【解析】（1）由 ，解得：函数f（x）的定义域，再由函数奇偶性的定义，可判断出f（x）为奇函数．（2）若对任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，即为| |≤2恒成立，分类求出各种情况下满足条件的a值，综合可得实数a的取值范围．