Question

设函数
（1）若f'（x）=0，求x的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）已知对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导数f′（x），解方程f'（x）=0，可得x的值；
（2）求导数f′（x），然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）对于未知数在指数上的式子，往往取对数进行解答．
解答：解：（1）f′（x）=-，f'（x）=0，即=0，
所以lnx+1=0，解得；
（2）f′（x）=-，
令f′（x）＞0，得0＜x＜，f（x）递增；令f′（x）＜0，得x且x≠1，
所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，1），（1，+∞）；
（3）在＞xa两边取对数，得ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以＞（1），
由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，f（x）≤f（）=-e，
为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当＞-e，即a＞-eln2．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查函数恒成立问题，恒成立问题往往转化为函数最值解决．