题目内容

设函数 $数学公式$ ，则下列结论正确的是
①f（x）的图象关于直线 $数学公式$ 对称
②f（x）的图象关于点 $数学公式$ 对称
③f（x）的图象向左平移 $数学公式$ 个单位，得到一个偶函数的图象
④f（x）的最小正周期为π，且在 $数学公式$ 上为增函数．

A.
③
B.
①③
C.
②④
D.
①③④

A
分析：研究函数 $\text{[math]}$ 的性质，可利用代入法，将2x+ $\text{[math]}$ 看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+ $\text{[math]}$ 所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断①②④的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明③正确
解答：①∵2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =π，x=π不是正弦函数的对称轴，故①错误；
②∵2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ，0）不是正弦函数的对称中心，故②错误；
③f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到y=sin[2（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故③正确；
④由x∈ $\text{[math]}$ ，得2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∵[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]不是正弦函数的单调递增区间，故④错误；
故选A
点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，函数的对称轴、对称中心、单调区间的求法，函数图象的平移变换和函数奇偶性的定义，整体代入的思想方法