Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（2）若是函数的极值点，求函数在上的最大值；

（3）在(2)的条件下，是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有个交点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a≥0；（2）(－7，－3)∪(－3，＋∞).

【解析】【试题分析】（1）先对函数求导得f′(x)＝3x2＋2ax－3，再将问题转化为在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，从而求出实数a的取值范围；（2）先借助题设极值点是建立方程求出a＝4，再运用导数知识求出其最大值；（3）先将问题转化为方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3个不等实根，进而转化为方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根，然后运用二次方程的根与系数之间的关系及判别式建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解：

(1)f′(x)＝3x2＋2ax－3，

∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0.

∴－≤1且f′(1)＝2a≥0.

∴a≥0.

(2)由题意知f′＝0，即＋－3＝0，

∴a＝4.

∴f(x)＝x3＋4x2－3x.

令f′(x)＝3x2＋8x－3＝0得x＝或x＝－3.

∵f(－4)＝12，f(－3)＝18，f＝－，f(1)＝2，

∴f(x)在[－a,1]上的最大值是f(－3)＝18.

(3)若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．

∵x＝0是其中一个根，

∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根．

∴

∴b>－7且b≠－3.

∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．