Question

（2011•江西模拟）已知函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{a_n}满足a₁=

1

2

，ln（2a_n+1）=a_n+1•a_n+f（a_n+1•a_n）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a=1，证明：数列{

1

an-1

}是等差数列；
（3）在（2）的条件下，证明：a₁+a₂+…+a_n＜n+ln

2

n+2

．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=-

x-(a-1)

x+1

，当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（-1，+∞）递减；当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0．由此能f（x）的单调性．
（2）由a_n+1=

1

2-an

，知an+1-1=

1

2-an

-1，所以

1

an+1-1

 =

1

an-1

-1，由此能证明数列{

1

an-1

}是等差数列．
（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减，所以ln（x+1）≤x，故ln（

1

n+1

+1)＜

1

n+1

，即：ln

n+2

n+1

＜

1

n+1

，由此能够证明a₁+a₂+…a_n=n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)＜n-(ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+2

n+1

)=n+ln

2

n+2

．

解答：解：（1）f'（x）=-

x-(a-1)

x+1

当a≤0时，f'（x）＜0，
则f（x）在（-1，+∞）递减；
当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；
x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0；
∴当a＞0时，在（-1，a-1）上f（x）递增，
在（a-1，+∞）上f（x）递减…..（4分）
（2）∵函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{a_n}满足a₁=

1

2

，
ln（2a_n+1）=a_n+1•a_n+f（a_n+1•a_n），a=1，
∴ln（2a_n+1）=a_n+1•a_n+ln（a_n+1•a_n+1）-a_n+1•a_n，
∴ln（2a_n+1）=ln（a_n+1•a_n+1），
∴2a_n+1=a_n+1•a_n+1，
∴a_n+1=

1

2-an

，
∴an+1-1=

1

2-an

-1，
∴

1

an+1-1

 =

1

an-1

-1，
∴{

1

an-1

}是等差数列…..（8分）
（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，
在（0，+∞）递减，
∴f（x）≤f（0）=0，
即：ln（x+1）≤x，
∴ln（

1

n+1

+1)＜

1

n+1

，即：ln

n+2

n+1

＜

1

n+1

≤

1

n+1

，
由（2）得：a_n=1-

1

n+1

，
∴a₁+a₂+…a_n
=1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

=n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)＜n-(ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+2

n+1

)=n+ln

2

n+2

＜n-[ln（

1

2

+1）+ln（

1

3

+1）+…+ln（

1

n+1

+1）]
=n-[ln（

3

2

×

4

3

×…×

n+2

n+1

）]
=n-ln

n+2

2

=n+ln

2

n+2

．…（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．