Question

（2011•江西模拟）已知数列{a_n}，{b_n}分别是等差、等比数列，且a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．
①求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
②设S_n为数列{a_n}的前n项和，求{

1

Sn

}的前n项和T_n；
③设C_n=

anbn

Sn+1

（n∈N），R_n=C₁+C₂+…+C_n，求R_n．

Answer 1

分析：①直接利用a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．求出公差d和公比q，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
②直接代入等差数列的求和公式得S_n，再利用裂项相消求和法求{

1

Sn

}的前n项和T_n；
③先对C_n进行整理，再利用裂项相消求和法即可求R_n．

解答：解：①设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意

1+d=q 1+3d=q2 q≠1

⇒

q=2 d=1

∴a_n=1+（n-1）×1=n；
b_n=1×2^n-1=2^n-1．（4分）
②∵s_n=

n(n+1)

2

⇒

1

sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）．
∴T_n=

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=2[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．（8分）
③∵C_n=

n•2n-1

(n+1)(n+2) 2

=

n•2n

(n+1)(n+2)

=

2n+1

n+2

-

2n

n+1

．
∴R_n=C₁+C₂+…+C_n
=（

22

3

-

21

2

）+（

23

4

-

22

3

）+…+（

2n+1

n+2

-

2n

n+1

）
=

2n+1

n+2

-1．

点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及数列求和的裂项相消求和法，是对基础知识的综合考查，属于中档题．本题的难点在与第三问的裂项．