Question

近几年来，我国南部地区经常出现干旱现象，严重影响了农作物生长，为了抗旱需要进行人工降雨，某地区决定在未来5天实施人工降雨，据气象预报，该地区未来5天每天下午1点到3点降雨的概率：前3天均为50%，后2天均为80%，若当天下雨则不实施人工降雨，否则，当天实施人工降雨．
（Ⅰ）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（Ⅱ）求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）先求出5天全不需要人工降雨的概率，再由间接法能求出至少有1天需要人工降雨的概率．
（Ⅱ）x的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天数x分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是：
p₁=（

1

2

）³（

4

5

）²=

2

25

，…（2分）
故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p₁=1-

2

25

=

23

25

．…（4分）
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
P（x=5）=（

1

2

）³（

4

5

）²=

2

25

，
P（x=4）=（

1

2

）³C

1 2

•

4

5

×

1

5

+C

1

3

•（

1

2

）³（

4

5

）²=

7

25

，…（5分）
P（x=3）=

C

2 3

（

1

2

）³（

4

5

）²+C

1 3

（

1

2

）³C

1 2

（

1

5

）（

4

5

）+（

1

2

）³（

1

5

）²=

73

200

，…（6分）
2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C

2 3

（

1

2

）³（

1

5

）²+C

1 3

（

1

2

）³C

1 2

（

1

5

）×（

4

5

）+（

1

2

）³×（

4

5

）²=

43

200

，…（7分）
1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=

11

200

，…（8分）
0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（

1

2

）³（

1

5

）²=

1

200

，…（9分）
不需要人工降雨的天数x分布列是：…（10分）

x	0	1	2	3	4	5
P	1 200	11 200	43 200	73 200	7 25	2 25

不需要人工降雨的天数x的期望是：Ex=0×

1

200

+1×

11

200

+2×

43

200

+3×

73

200

+4×

7

25

+5×

2

25

=3.1．…（12分）

点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题．