Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线：，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线过焦点且与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

（1）先求得A，B两点坐标，利用计算的周长可得p，进而求得抛物线方程；

（2）利用导数的几何意义求得切线与的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及与的交点P，可得，再利用焦半径公式求得，可得结果.

（1）由题意知焦点的坐标为，将代入抛物线的方程可求得点、的坐标分别为、，

有，，可得的周长为，有，得.

故抛物线的方程为.

（2）由（1）知抛物线的方程可化为，求导可得.

设点、的坐标分别为、.

设直线的方程为（直线的斜率显然存在）.

联立方程消去整理为：，可得.

有，.

可得直线的方程为，整理为.

同理直线的方程为.

联立方程，解得，则点的坐标为.

由抛物线的几何性质知，，

.

有 .

∴.