Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）求实数a的范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调递增函数．
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先找到其对称轴，再根据开口向上的二次函数在对称轴右边递增即可求出实数a的范围；
（2）根据对称轴和区间的位置关系分三种情况讨论，即可求出f（x）的最小值．

解答：解：（1）因为f（x）是开口向上的二次函数，且对称轴为x=-a，为了使f（x）在[-5，5]上是增函数，故-a≤-5，即a≥5（5分）
（2）当-a≤-5，即a≥5时，f（x）在[-5，5]上是增函数，所以f_min（x）=f（-5）=27-10a
当-5＜-a≤5，即-5≤a＜5时，f（x）在[-5，-a]上是减函数，在[-a，5]上是增函数，所以f_min（x）=f（-a）=2-a²
当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上是减函数，所以f_min（x）=f（5）=27+10a
综上可得fmin(x)=

27-10a，(a≥5) 2-a2，(-5≤a＜5) 27+10a，(a＜-5)

点评：本题主要考察二次函数在闭区间上的最值问题．二次函数y=ax²+bx+c，（a＞0），在定区间[m，n]上，[1]当m≥-

b

2a

时，对称轴在区间左侧，f （x）在[m，n]上递增，则f （x）的最大值为f （n），最小值为f （m）；[2]当n≤-

b

2a

时，对称轴在区间右侧，f （x） 在[m，n]上递减，，则f （x）的最大值为f （m），最小值为f（n）；[3]当-

b

2a

∈（m，n）时，则f（x）的最小值为f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函数f （x）递减，则f （x）的最大值为f （m），在[-

b

2a

，n]上函数f （x）递增，则f （x）的最大值为f （n），比较f （m）与f （n）的大小即得．