Question

一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．

Answer 1

【答案】分析：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t小时，在△ABC中利用正弦定理可求；
（2）在△ABC中利用余弦定理可求追击所需的时间，解方程24t²-15t-9=0可得．
解答：解：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t小时，则有|BC|=25t，|AB|=35t，且∠CAB=α，∠ACB=120°，
根据正弦定理得：，即，∴sinα=．
（Ⅱ）在△ABC中由余弦定理得：|AB|²=|AC|²+|BC|²-2|AC||BC|cos∠ACB，即 （35t）²=15²+（25t）²-2•15•25t•cos120°，
即24t²-15t-9=0，解之得：t=1或t=-（舍）
故缉私艇追上走私船需要1个小时的时间．
点评：本题考查正余弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题．