题目内容
一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追击所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角，设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇）．
分析：缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇，由条件得到∠ACB=120°，AC=12海里，设缉私船t小时后追上该走私船，根据各自的速度表示出BC与AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出关系式，求出sinα的值；由余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．
解答：解：由条件知∠ACB=120°，AC=12海里，
设缉私船t小时后追上该走私船，可得BC=10t，AB=14t，
∴由正弦定理
=
得：
=
，
∴sinα=
，
由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB得：（14t）2=122+（10t）2-240tcos120°，
解得：t=2或t=-
（舍），
∴t=2小时，sinα=
．
设缉私船t小时后追上该走私船，可得BC=10t，AB=14t，
∴由正弦定理
| BC |
| sin∠CAB |
| AB |
| sin∠ACB |
| 10t |
| sinα |
| 14t |
| sin120° |
∴sinα=
5
| ||
| 14 |
由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB得：（14t）2=122+（10t）2-240tcos120°，
解得：t=2或t=-
| 3 |
| 4 |
∴t=2小时，sinα=
5
| ||
| 14 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
