Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+1=3S_n+2可得，当n＞1时，S_n=3S_n-1+2两 式相减可得，a_n+1=3a_n，结合等比数列的通项公式可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求S_n，代入可求b_n，然后利用裂项求和即可求解T_n，可证明
解答：解：（I）由S_n+1=3S_n+2可得，当n＞1时，S_n=3S_n-1+2
两 式相减可得，a_n+1=3a_n（3分）
∵a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以3为公比的等比数列
∴（6分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（8分）
故
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=…（10分）
又n∈N*，，故
由b_n＞0知当n=1时，最小，即
故成立．                                                 …（12分）
点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，等比数列的通项公式及裂项求和方法的综合应用．