Question

函数f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是

a∈（-

17

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先将函数f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在单调递增区间的问题转化为其导函数f′（x）＞0在（1，2）上能成立问题，再将导函数的分子看做新函数g（x），通过导数讨论其图象性质即可得g（x）＞0在（1，2）上能成立时a的范围

解答：解：f′(x)=2x +

1

x 2

+

a

x

=

2x3+ax+1

x 2

  （x＞0）
设g（x）=2x³+ax+1，则g′（x）=6x²+a
若a≥-6，则因为6x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上为增函数
若-24＜a＜-6，则由g′（x）=0，得x=±

- a 6

且2＞

- a 6

＞1
∴g（x）在（1，

- a 6

）上是减函数，在（

- a 6

，2）上为增函数
要使函数f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在单调递增区间
只需g（x）＞0在（1，2）上能成立
只需g（1）=3+a＞0，或g（2）=17+2a＞0
即a＞-

17

2

，此时-

17

2

＜a＜-6
若a≤-24，则因为24＞6x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＜0，从而f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上为减函数，不合题意
综上所述，函数f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是a∈（-

17

2

，+∞）
故答案为a∈（-

17

2

，+∞）

点评：本题考查了导数运算和导数在函数单调性中的应用，不等式能成立问题的解法，分类讨论的思想方法和转化化归的思想方法，确定讨论标准并不重不漏是解决本题的关键