Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-EFC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：由题意，欲证线线垂直，可先证出B₁C⊥平面BC₁D₁再由线面垂直的性质证明EF⊥B₁C即可；
法二：可由题设条件证明出EF⊥平面B₁FC，再由线面垂直的性质得出线线垂直；
（Ⅱ）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B₁EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．

解答：（Ⅰ）证明一：连接BD₁，BC₁
∵E、F分别为DD₁、BD的中点∴EF∥BD₁
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴D₁C₁⊥平面BCC₁B₁∴D₁C₁⊥B₁C
∵正方形BCC₁B₁∴B₁C⊥BC₁
∵D₁C₁∩BC₁=C₁∴B₁C⊥平面BC₁D₁∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁∴EF⊥B₁C
证明二：∵

ED

FB

=

1

2

=

2

2

=

DF

BB1

∴Rt△EDF∽Rt△FBB₁
∴∠DEF=∠BFB₁∴∠BFB₁+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB₁=90°
∴EF⊥FB₁    又∵CF⊥平面BDD₁B∴CF⊥EF
B₁F∩CF=F∴EF⊥平面B₁FC∴EF⊥B₁C
（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD₁⊥平面ABCD∴DD₁⊥CF
又DD₁∩BD=D∴CF⊥平面BDD₁B₁   又CF=

2

方法一：△B₁EF的面积=2×2

2

-

2

-

2

-

2

2

=

3

2

2

方法二：∵EF⊥平面B₁FC∴EF⊥FB₁
EF=

3

，FB₁=

6

Rt△B₁EF的面积=

1

2

×EF×FB₁=

1

2

×

3

×

6

=

3

2

2

∴V_B1-EFC=V_C-B1EF=

1

3

×S_△B1EF×CF=

1

3

× 

3

2

 

2

×

2

=1
∴三棱锥B₁-EFC的体积为1．

点评：本题考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式，本题是立体几何中的常规题题型，难度不大，计算麻烦．