Question

如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为DD₁、BD的中点．  
（1）求证：EF∥面ABC₁D₁
（2）求证EF∥BD₁．
（3）求三棱锥VB1-EFC的体积．

Answer 1

分析：（1）E、F分别为DD₁、BD的中点，所以EF∥BD₁且EF=

1

2

BD₁．又因为BD₁?平面ABC₁D₁且EF?平面ABC₁D₁所以EF∥面ABC₁D₁
（2）E、F分别为DD₁、BD的中点∴EF∥BD₁
（3）B₁C⊥EF且EF⊥FC所以EF⊥平面FCB₁，所以EF=

3

，因为FC=

2

，FB₁=

6

所以VB1-EFC=

1

3

×

1

2

×

2

×

6

×

3

=1．

解答：证明：（1）∵E、F分别为DD₁、BD的中点
∴EF∥BD₁且EF=

1

2

BD₁
∵BD₁?平面ABC₁D₁且EF?平面ABC₁D₁
∴EF∥面ABC₁D₁
（2））∵E、F分别为DD₁、BD的中点
∴EF∥BD₁
（3）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∴B₁C⊥BC₁，B₁C⊥C₁D₁
∴B₁C⊥平面BC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁
∴B₁C⊥EF
又∵EF⊥FC
∴EF⊥平面FCB₁
∵EF=

1

2

BD₁
∴EF=

3

∵FC⊥平面BDD₁B₁
∴FC⊥FB₁
又∵在棱长为2的正方体中
∴FC=

2

，FB1=

6

∴S△FCB1=

3

∴VB1-EFC=

1

3

×

1

2

×

2

×

6

×

3

=1
所以三棱锥VB1-EFC的体积为1．．

点评：证明线面平行即在平面内找一条直线与已知直线平行；证明线线平行的方法有证明线面平行，中位线，平行四边形等方法，在这里运用了中位线也是我们常见的一种方法；求三棱锥的体积关键是找到合适的高与底面，即换一个顶点．