Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中
①?x₀∈R，f（x₀）=0
②函数f（x）的图象是中心对称图形 
③若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）单调递减 
④若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0．
正确的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由根的存在性定理，判定出命题正确；
②求出f（x）的对称中心，可以判定命题正确；
③求出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，可以得出命题错误；
④f（x）的极值点处，f′（x）=0．

解答：解：①对于f （x ）=x³+ax²+bx+c，x∈R，当x→-∞时，y→-∞，当x→+∞时，y→+∞；
∴?x₀∈R，使f（x₀）=0，命题正确；
②∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=[(-

2a

3

-x)3+a(-

2a

3

-x)2+b（-

2a

3

-x）+c]+（x³+ax²+bx+c）=

4a3

9

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=

2a3

9

-

ab

3

+c，
∴f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），
∴f（x）关于点P（-

a

3

，f（-

a

3

））成中心对称，∴命题正确；
③∵f′（x）=3x²+2ax+b．
（i）当△=4a²-12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
x₂是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（-∞，x₂）不具有单调性，∴命题不正确；
（ii）当△≤0时，f′（x）=3x²+2ax+b≥0恒成立，∴f（x）在R上单调增函数，不存在极值点；
④由表格可知x₁，x₂分别为f（x）的极值点，且f′（x₁）=f′（x₂）=0，∴命题正确．
综上，正确的命题有①②④；
故选：C．

点评：本题考查了导数在求函数极值中的应用以及利用导数判定函数的单调区间的问题，也考查了函数图象的对称问题，是易错题．