题目内容

已知P是椭圆 $数学公式$ 的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是

A.
[-7，8]
B.
$数学公式$
C.
[-2，2]
D.
（-∞，-7]∪[8，+∞）

A
分析：由椭圆 $\text{[math]}$ 的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，知 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1联立，得P（-3，-4），再由P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d= $\text{[math]}$ ≤3，能求出实数m的取值范围．
解答：∵椭圆 $\text{[math]}$ 的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），
且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，
∴ $\text{[math]}$ ，即y²=25-x²，
把y²=25-x²代入 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
得 $\text{[math]}$ ，
解得x=±3，
∴y²=25-9=16，
y=±4，
∵点P在第三象限，
∴P点坐标是（-3，-4），
P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d= $\text{[math]}$ ，
∵点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，
∴ $\text{[math]}$ ≤3，
-15≤1-2m≤15，
解得-7≤m≤8．
故选A．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．综合性强，难度大，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．