Question

在下列四个命题中：
①函数y=tan(x+

π

4

)的定义域是{x|x≠

π

4

+kπ，k∈Z}；
②y=tanx在其定义域内为增函数；
③若

a

•

c

=

b

•

c

，则必有

a

=

b

；
④函数y=cos²x+sinx的最小值为-1．
把正确的命题的序号都填在横线上

①④

．

Answer 1

分析：①函数y=tan(x+

π

4

)的定义域满足x+

π

4

≠

π

2

+kπ，k∈Z，由此能求出函数y=tan(x+

π

4

)的定义域；
②y=tanx的增区间是（-

π

2

+kπ ，

π

2

+kπ ）；
③若

a

•

c

=

b

•

c

，则

a

与

b

不一定相等；
④函数y=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，由此能求出函数y=cos²x+sinx的最小值．

解答：解：①∵函数y=tan(x+

π

4

)的定义域满足x+

π

4

≠

π

2

+kπ，k∈Z，
∴函数y=tan(x+

π

4

)的定义域是{x|x≠

π

4

+kπ，k∈Z}，故①正确；
②y=tanx的增区间是（-

π

2

+kπ ，

π

2

+kπ ），故②不正确；
③若

a

•

c

=

b

•

c

，则

a

与

b

不一定相等，故③不正确；
④∵函数y=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，
∴当sinx=-1时，函数y=cos²x+sinx的最小值为-1，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查复合函数的真假判断，是基础题．解题时要注意正切函数的定义域、单调性，向量的性质和三角函数恒等变换等知识点的合理运用．