题目内容

如图，△ABC是某屋顶的断面，CD⊥AB，横梁AB的长是竖梁CD长的2倍．设计时应使y=tanA+2tanB保持最小，试确定D点的位置，并求y的最小值．

解：设CD=1，则AB=2，再设AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2）
∵Rt△ACD中，tanA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，Rt△BCD中，tanB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ；当且仅当 $\text{[math]}$ 时取等号
∴当 $\text{[math]}$ 时，y取得最小值 $\text{[math]}$
此时 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
答：取AD：DB=1： $\text{[math]}$ 时，y有最小值 $\text{[math]}$
分析：首先设CD=1，则AB=2，再设AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2），然后根据直角三角形中三角函数的定义，得到tanA= $\text{[math]}$ 且tgB= $\text{[math]}$ ，代入y=tanA+2tanB的表达式，再进行配凑，得到y= $\text{[math]}$ ，最后通过基本不等式讨论分母的最小值，可得y的最小值是 $\text{[math]}$ ．根据取等号的条件得到：当且仅当 $\text{[math]}$ 时，取到这个最小值，求出AD与DB的比值，从而确定D点的位置，问题得到解决．
点评：本题借助于一个实际问题，通过求函数的最小值，着重考查了任意角三角函数的定义、基本不等式和函数的值域与最值等知识点，属于中档题．