Question

如图，△ABC是某屋顶的断面，CD⊥AB，横梁AB的长是竖梁CD长的2倍．设计时应使y=tanA+2tanB保持最小，试确定D点的位置，并求y的最小值．

Answer 1

分析：首先设CD=1，则AB=2，再设AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2），然后根据直角三角形中三角函数的定义，得到tanA=

1

x

且tgB=

1

2-x

，代入y=tanA+2tanB的表达式，再进行配凑，得到y=-

1

x+2+ 8 x+2 -6

，最后通过基本不等式讨论分母的最小值，可得y的最小值是

3+2 2

2

．根据取等号的条件得到：当且仅当x=2

2

-2时，取到这个最小值，求出AD与DB的比值，从而确定D点的位置，问题得到解决．

解答：解：设CD=1，则AB=2，再设AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2）
∵Rt△ACD中，tanA=

CD

AD

=

1

x

，Rt△BCD中，tanB=

CD

BD

=

1

2-x

∴y=tanA+2tanB=

CD

AD

+

2CD

BD

=

1

x

+

2

2-x

=

x+2

x(2-x)

=

1

-x2+2x x+2

=-

1

x+2+ 8 x+2 -6

∵x+2+

8

x+2

≥4

2

；当且仅当(x+2)2=8，x=2

2

-2时取等号
∴当x=2

2

-2时，y取得最小值-

1

4 2 -6

=

3+2 2

2

此时DB=2-(2

2

-2)=4-2

2

，
∴AD：DB=

2 2 -2

4-2 2

=

1

2

答：取AD：DB=1：

2

时，y有最小值

3+2 2

2

点评：本题借助于一个实际问题，通过求函数的最小值，着重考查了任意角三角函数的定义、基本不等式和函数的值域与最值等知识点，属于中档题．