Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（2x），当x∈[1，2]时，f（x）=4-4|2x-3|，设函数f（x）在x∈[2^n-1，2ⁿ]，（n∈N^*）上的极大值为a_n，则数列{a_n}的前n项和为（　　）

• A．8-

  1

  2n-2

• B．8-

  1

  2n-3

• C．8-

  1

  4n-2

• D．8-

  1

  4n-3

Answer 1

分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出极值点，根据等比数列的求和公式即可求解

解答：解：当2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）时，

x

2n-1

∈[1，2]
∵函数f（x）满足：①f（x）=2f（2x）；②当x∈[1，2]时，f（x）=4-4|2x-3|
∴f(

x

2n-1

)=2f（

x

2n-2

）=4f(

x

2n-3

)=…=2n-1f(

x

20

)=2^n-1f（x）
∵f(

x

2n-1

)=4-4|

2x

2n-1

-3|
∴2n-1f(x)=4-4|

x

2n-2

-3|
∴a_n=

4

2n-1

∴Sn=4+2+1+…+

4

2n-1

=

4(1- 1 2n )

1- 1 2

=8-

1

2n-3

故选B

点评：本题考查的知识点是函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出函数的极值点坐标，是解答本题的关键．