题目内容

已知O是线段AB外一点，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）设点P、Q是线段AB的三等分点，试用向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 表示 $数学公式$ ；
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．

解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，同理 $\text{[math]}$ ，（2分）
所以 $\text{[math]}$ （4分）
（2）层次1：设A₁是AB的二等分点，则 $\text{[math]}$ ；
设A₁、A₂、A₃是AB的四等分点，则 $\text{[math]}$ 等等（结论（2分），证明2分）
层次2：设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，则 $\text{[math]}$ 等；（结论（2分），证明4分）
层次3：设A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分点，
则 $\text{[math]}$ ；（结论（3分），证明7分）
证：A₁，A₂，，A_n-1是线段n≥2的 $\text{[math]}$ 等分点，先证明这样一个基本结论： $\text{[math]}$ （1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是相反向量，
则 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
记 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
相加得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ ，相加即得用向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的表达式；
（2）可先对二等分点，四等分点进行探究，归纳得出猜想 $\text{[math]}$ ，再数学归纳法证明结论．
点评：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则与向量的共线条件，归纳推理的思想，数学归纳法证明方程的方法，本题中先猜想，再用数学归纳法进行证明，难度较大，解题时要注意运算变形时认真、严谨，避免因运算失误导致解题失败．