Question

已知圆C经过（-2，0），（2，0）两点，且圆心在直线y=x．
（1）求圆C的方程；
（2）过（-1，1）的直线l与圆C交于不同两点A，B，且满足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

（O为坐标原点）的点M也在圆C上，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 可设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，把（-2，0），（2，0）两点代入圆的方程，结合圆心在直线y=x可求a，b，r
（Ⅱ）若直线l斜率存在，设直线l的方程为：y-1=k（x+1），联立方程，根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]，代入  

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

可求M，再由点M在圆C上，代入可求k；若直线l斜率不存在，可求直线方程，从而可求

解答：解：（Ⅰ） 设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
由题有

b=a (-2-a)2+b2=r2 (2-a)2+b2=r2

，解得：a=b=0，r=2
∴圆C的方程是 x²+y²=4
（Ⅱ）若直线l斜率存在，设直线l的方程为：y-1=k（x+1）

y-1=k(x+1) x2+y2=4

可得，（1+k²）x²+2k（k+1）x+k²+2k-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
则x1+x2=

2k(k+1)

1+k2

，x1x2=

k2+2k-3

1+k2

∴y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]
=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2
=

2k+4

1+k2

-3
由  

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

有 x0=

x1+ 3 x2

2

，y0=

y1+ 3 y2

2

∵点M在圆C上，
∴(

x1+ 3 x2

2

)2+(

y1+ 3 y2

2

)2=4
又 

x

2 1

+

y

2 1

=4，

x

2 2

+

y

2 2

=4代入上式化简得：x₁x₂+y₁y₂=0
∴

k2+2k-3

1+k2

+

2k+4

1+k2

-3=0
解得k=1
∴直线l的方程是 x-y+2=0
若直线l斜率不存在，则A(-1，

3

)，B(-1，-

3

)，M(

-1- 3

2

，

3 -3

2

)
但M不在圆C上，不合题意．
综上知，直线l的方程是 x-y+2=0

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解圆的方程，直线与圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题