Question

已知圆C经过（-2，0），（2，0）两点，且圆心在直线y=x．
（1）求圆C的方程；
（2）过（-1，1）的直线l与圆C交于不同两点A，B，且满足（O为坐标原点）的点M也在圆C上，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 可设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，把（-2，0），（2，0）两点代入圆的方程，结合圆心在直线y=x可求a，b，r
（Ⅱ）若直线l斜率存在，设直线l的方程为：y-1=k（x+1），联立方程，根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]，代入  可求M，再由点M在圆C上，代入可求k；若直线l斜率不存在，可求直线方程，从而可求
解答：解：（Ⅰ） 设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
由题有，解得：a=b=0，r=2
∴圆C的方程是 x²+y²=4
（Ⅱ）若直线l斜率存在，设直线l的方程为：y-1=k（x+1）
可得，（1+k²）x²+2k（k+1）x+k²+2k-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
则，
∴y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]
=
=
由  
有 
∵点M在圆C上，
∴
又 代入上式化简得：x₁x₂+y₁y₂=0
∴
解得k=1
∴直线l的方程是 x-y+2=0
若直线l斜率不存在，则
但M不在圆C上，不合题意．
综上知，直线l的方程是 x-y+2=0
点评：本题主要考查了利用待定系数法求解圆的方程，直线与圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题