Question

已知函数g（x）=

1

2

sin（2x+

2π

3

），f（x）=acos²（x+

π

3

）+b，且函数y=f（x）的图象是函数y=g（x）的图象按向量a=（-

π

4

，

1

2

）平移得到的．
（1）求实数a、b的值；
（2）设h（x）=g（x）-

3

f（x），求h（x）的最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=acos²（x+

π

3

）+b化为：f（x）=

a

2

cos（2x+

2π

3

）+

a

2

+b，函数y=g（x）的图象按向量a=（-

π

4

，

1

2

）平移得到f（x）=

1

2

cos（2x+

2π

3

）+

1

2

，从而可求得实数a、b的值；
（2）可求得h（x）=sin（2x+

π

3

）-

1

2

．当2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，h（x）有最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=acos²（x+

π

3

）+b=

a

2

cos（2x+

2π

3

）+

a

2

+b，①
g（x）=

1

2

sin（2x+

2π

3

）的图象按向量a=（-

π

4

，

1

2

）平移得到
f（x）=

1

2

sin[2（x+

π

4

）+

2π

3

]+

1

2

=

1

2

cos（2x+

2π

3

）+

1

2

，②
比较①②可得：a=1，b=0；
（2）∵h（x）=g（x）-

3

f（x）=

1

2

sin（2x+

2π

3

）-

3

2

cos（2x+

2π

3

）-

1

2

=sin（2x+

π

3

）-

1

2

．
当2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

5π

12

（k∈Z）时，h（x）有最小值，h（x）_min=-

3

2

．

点评：本题考查三角函数的化简与求值，着重考查降幂公式，辅助角公式及正像函数的性质的综合应用，属于难题．