Question

（理）已知函数g（x）=1-cos（

π

2

x+2ψ）（0＜ψ＜

π

2

）的图象过点（1，2），若有4个不同的正数x_i 满足g（x_i）=M，且x_i＜8（i=1，2，3，4），则x₁+x₂+x₃+x₄等于（　　）

A．12

B．20

C．12或20

D．无法确定

Answer 1

分析：先由g（x）过点（1，2），求得φ，进而求得函数g（x），再由g（x）=M 在两个周期之内有四个解，则在在一个周期内必有两个解，表示出四个解来相加可得．

解答：解：因为：函数g（x）=1-cos（

π

2

x+2ψ）（0＜ψ＜

π

2

）的图象过点（1，2），
∴1-cos（

π

2

+2φ）=2，
∴sin2φ=1，
∴φ=

π

4

∴g（x）=1-cos（

π

2

x-

π

2

）=1-sin

π

2

x．
∵g（x）=M 在两个周期之内竟然有四个解，
∴sin

π

2

x=1-M在一个周期内有两个解
当1-M＞0时，四个根中其中两个关于x=11对称，另两个关于x=5对称，故其和为2×1+5×2=12．
 当1-M＜0时，四个根中其中两个关于x=3对称，另两个关于x=7对称，故其和为2×3+7×2=20．
综上得：x₁+x₂+x₃+x₄=12或20．
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相应的规律，与周期有关．