Question

已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由椭圆过定点A（1，0），知，，由，知．由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=-x（x≥0）的交点．由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：∵椭圆 过定点A（1，0），
∴，，
∵，∴，
∴．
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=-x（x≥0）的交点．
联立方程 ，
解得 ．
∵，
∴．
设抛物线方程为：y²=-2p（x-m），p＞0，m＞1．
∵，
∴y²=（1-m）（x-m）①
把 y=x，代入①，
得x²+4（m-1）x-4m（m-1）=0，m＞1．
令f（x）=x²+4（m-1）x-4m（m-1），m＞1，
∵f（x）在内有根且单调递增，
∴
即
综上得实数m的取值范围：{m|}．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．