题目内容
在数列{an}中，a1=1，3anan﹣1+an﹣an﹣1=0（n≥2，n∈N*）．
（1）试判断数列
是否成等差数列；
（2）设{bn}满足bn=
，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）若λan+
≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
（1）试判断数列
是否成等差数列；（2）设{bn}满足bn=
，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）若λan+
≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解 ∵数列{an}中，a1=1，3anan﹣1+an﹣an﹣1=0（n≥2，n∈N*），
∴an﹣1﹣an=3anan﹣1，∴
（n≥2）．
故数列{
}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得bn=
=1+（n﹣1）×3，
所以bn=3n﹣2，∴Sn=
=
．
（3）将an=
=
代入λan+
≥λ并整理得λ（1﹣
）≤3n+1，
∴λ≤
，原命题等价于该式对n≥2恒成立．
设Cn=
，则Cn+1﹣Cn=
＞0，Cn+1＞Cn，
∵n=2时，Cn的最小值C2为
，∴λ的取值范围是（﹣∞，
]．
∴an﹣1﹣an=3anan﹣1，∴
（n≥2）．故数列{
}是等差数列．（2）由（1）的结论可得bn=
=1+（n﹣1）×3，所以bn=3n﹣2，∴Sn=
=．（3）将an=
=代入λan+≥λ并整理得λ（1﹣）≤3n+1，∴λ≤
，原命题等价于该式对n≥2恒成立．设Cn=
，则Cn+1﹣Cn=＞0，Cn+1＞Cn，∵n=2时，Cn的最小值C2为
，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．