Question

（2012•辽宁模拟）已知向量

m

=(sin2x+

1+cos2x

2

，sinx)，

n

=(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx)，设函数f(x)=

m

•

n

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，确定函数解析式，利用辅助角公式化简函数，从而可得函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+

π

6

)，根据x∈[0，

π

2

]，确定2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可得sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，进而可得函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(sin2x+

1+cos2x

2

，sinx)，

n

=(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx)，
∴f(x)=

m

•

n

=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+2sin2x=1-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=1-sin(2x+

π

6

)．（4分）
所以其最小正周期为T=

2π

2

=π．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+

π

6

)，
又∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴1-sin(2x+

π

6

)∈[0，

3

2

]．（10分）
所以函数f（x）的值域为[0，

3

2

]．（12分）

点评：本题考查向量的数量积，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，利用辅助角公式化简函数是解题的关键．