Question

（2013•广州二模）已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|＜

2

的概率；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的 距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|＜

2

的正方形内部的点P的集合”的面积即可得出；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到

C

2 8

=28线段．这些线段的长度ξ的所有可能取值分别为1，

2

，2，

5

，2

2

，找出相应长度的线段条数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．

解答：解：（1）如图所示，正方形的面积S_{正方形ABCD}=2×2=4．
设“满足|PH|＜

2

的正方形内部的点P的集合”为事件M，
则S（M）=S_△DGH+S_△AEH+S_扇形EGH=2×

1

2

×12+

1

2

×

2

×

π

2

×

2

=1+

π

2

．
∴P（M）=

1+ π 2

4

=

π

8

+

1

4

．
故满足|PH|＜

2

的概率为

π

8

+

1

4

．
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到

C

2 8

=28线段．
其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于

2

的由4条：EF、FG、GH、HE；长度等于2的有6条：AB、BC、CD、DA、EG、
FH；长度等于

5

的有8条，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；长度等于2

2

的由2条AC、BD．
∴ξ的所有可能的取值为1，

2

，2，

5

，2

2

．
则P（ξ=1）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=

2

）=

4

28

=

1

7

，P（ξ=2）=

6

28

=

3

14

，P（ξ=

5

）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=2

2

）=

2

28

=

1

14

．
随机变量ξ的分布列为

Eξ=1×

2

7

+

2

×

1

7

+2×

3

14

+

5

×

2

7

+2

2

×

1

14

=

5+2 2 +2 5

7

．

点评：本题考查了利用古典概型的概率计算公式求几何概率及其分布列和数学期望，正确求出试验的全部结果所构成的区域的面积和长度以及要求的事件的区域的面积和长度是解题的关键．