题目内容
已知椭圆
的离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆交于
两点，且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，求
面积的最大值．
解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以
， ……………1分
又椭圆的离心率为，即
，所以
， ………………2分
所以
，
. ………………4分
所以
，椭圆的方程为
. ………………5分
（Ⅱ）方法一：不妨设
的方程
，则
的方程为
.
由
得
， ………………6分
设
，
，因为
，所以
， …………7分
同理可得
， ………………8分
所以
，
， ………………10分
， ………………12分
设
，则
， ………………13分
当且仅当
时取等号，所以面积的最大值为
. ………………14分
方法二：不妨设直线的方程
.
由
消去
得
， ………………6分
设，，
则有
，
. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点，所以 
.
由 
，
得 
. ………………8分
将
代入上式，
得 
.
将 ① 代入上式，解得 
或
（舍）. ………………10分
所以（此时直线经过定点
，与椭圆有两个交点），
所以
. ……………12分
设
，
则
.
所以当
时，
取得最大值. ……………14分
期末100分闯关海淀考王系列答案
小学能力测试卷系列答案A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、以上均不对 |
| 1 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：
如图，A，B是椭圆C：