Question

已知正项等比数列{a_n}满足2a₅=a₇-a₆，且存在两项a_n，a_m满足

anam

=4a1，则

4

n

+

1

m

的最小值为（　　）

• A．

  25

  6

• B．

  5

  3

• C．

  3

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：利用等比数列的通项公式求出n、m满足的关系式，再利用基本不等式的性质即可求出．

解答：解：∵正项等比数列{a_n}满足2a₅=a₇-a₆，∴2a5=a5q2-a5q，q＞0，化为q²-q-2=0，解得q=2．
∵存在两项a_n，a_m满足

anam

=4a1，∴

a1qn-1a1qm-1

=4a₁，化为2^n+m-2=2⁴，∴n+m=6．
∴

4

n

+

1

m

=

1

6

（n+m）(

4

n

+

1

m

)=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

(5+2

n m × 4m n )

=

3

2

．当且仅当

n

m

=

4m

n

，m+n=6即m=2，n=4时取等号．
∴

4

n

+

1

m

的最小值为

3

2

．
故选C．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式和基本不等式的性质是解题的关键．