Question

【题目】已知数列中，，前n项和为，且.

（1）求；

（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中），使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）存在唯一正整数数对，，，使，，成等比数列；详见解析

【解析】

（1）令，即可求；

（2）根据等差数列的等差中项法即可证明数列为等差数列，并写出其通项公式；

（3）根据等比数列的定义和通项公式，分类讨论，通过数列的单调性求出数列最值，结合题意判断求解，即可得到结论．

（1）令，则.

（2）由，即，①

得.②

②-①，得.③

于是，.④

③+④，得，即.

又，，，

所以，数列是以0为首项，1为公差的等差数列.

所以，.

（3）假设存在正整数数组（其中），使成等比数列，

则成等差数列，于是.

时，，故数列为递减数列，

时，，故数列为递减数列，

，，即时，.

又当时，，故无正整数q使得成立.

综上得，存在唯一正整数数对，，，使，，成等比数列.