Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

．
（1）求f（0）；
（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（x）为奇函数，求满足f（ax）＜f（2）的x的范围．

Answer 1

分析：（1）直接代入即可获得解答；
（2）根据函数单调性的定义，首先应在所给区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可；
（3）充分利用好函数的奇偶性，即可求的a的值，从而将问题简化为满足f（x）＜f（2）求x的取值范围，结合函数的单调性即可获得问题的解答．

解答：解：（1）f（0）=a-

2

20+1

=a-1．
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵y=2^x在R是单调递增且x₁＜x₂
∴0＜2x1＜2x2
∴2x1-2x2＜0
2x1+1＞0
2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
解得：a=1．
∴f（ax）＜f（2）
即为f（x）＜f（2）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＜2．

点评：本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．