Question

已知椭圆+=1（a＞）的离心率为，双曲线C与该椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点（0，）为圆心，1为半径的圆相切．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过点M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线C的焦点为F₁和F₂，由已知==求得a和c，设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据圆心到直线的距离为1求得k，进而的双曲线的渐近线方程，判断出双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a₁，进而根据2a₁²=c²=2，求得a₁，双曲线方程可得．
（2）直线与双曲线方程联立消去y，进而根据判别式及题设条件求得m的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂由中点坐标公式得AB的中点，令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，进而根据m的范围求得b的范围．
解答：解：（1）设双曲线C的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0．
由已知==，
得a=2，c=，
设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
依题意，=1，解得k=±1．
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a₁，
则2a₁²=c²=2，得a₁²=1．
∴双曲线C的方程为x²-y²=1．
（2）由得（1-m²）x²-2mx-2=0，
∴直线与双曲线C的左支交于A、B两点，
∴解得1＜m＜．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=，
y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2=，
由中点坐标公式得AB的中点为（，），
∴直线l的方程为x=（-2m²+m+2）y-2，
令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，
∵m∈（1，），b的值存在，∴-2m²+m+2≠0，
∴b==
而-2（m-）²+∈（-2+，0）∪（0，1），
∴故b的取值范围是（-∞，-2-）∪（2，+∞）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，平时应注意积累．