Question

（2012•开封一模）设点P为抛物线C：y=（x+1）²+2上的点，且抛物线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，则点P横坐标的取值范围为（　　）

• A．[

  1

  2

  ，1]
• B．[0，1]
• C．[-1，0]
• D．[-1，-

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：利用导数的几何意义，求得切线的斜率，再根据抛物线C在点P处切线倾斜角的取值范围，即可求得点P横坐标的取值范围．

解答：解：设P的坐标为（x₀，y₀），则
∵y=x²+2x+3
∴y′=2x+2
当x=x₀时，y′=2x₀+2
∵抛物线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，
∴0≤2x₀+2≤1
∴-2≤2x₀≤-1
∴-1≤x₀≤-

1

2

∴点P横坐标的取值范围为[-1，-

1

2

]
故选D．

点评：本题考查导数的几何意义，考查切线的斜率以倾斜角之间的关系，解题的关键是确定切线的斜率．