在下列给出的命题中.所有正确命题的序号为①②③．①函数y=2x3+3x-1的图象关于点(0.1)成中心对称,②对?x.y∈R．若x+y≠0.则x≠1或y≠-1,③若实数x.y满足x2+y2=1.则$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,④若△ABC为锐角三角形.则sinA＜cosB．⑤在△ABC中.BC=5.G.O分别为△ABC的重心� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为①②③．
①函数y=2x³+3x-1的图象关于点（0，1）成中心对称；
②对?x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠-1；
③若实数x，y满足x²+y²=1，则$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．
⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=5，则△ABC的形状是直角三角形．

分析 ①根据对称性等函数的性质判断
②由对全称量词的否定来判断命题真假，
③利用函数的性质数形结合，可以得到正确的结论．
④结合三角函数的性质进行判断即可
⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，

解答解：对于①函数y=2x³-3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x₀，y₀）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（-x₀，2-y₀）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对?x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=-x以外的点，则x≠1，或y≠-1，②正确；
对于③若实数x，y满足x²+y²=1，则$\frac{y}{x+2}$=$\frac{y-0}{x-（-2）}$，可以看作是圆x²+y²=1上的点与点（-2，0）连线的斜率，其最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π-A-B都是锐角，
即π-A-B＜$\frac{π}{2}$，即A+B＞$\frac{π}{2}$，B＞$\frac{π}{2}$-A，
则cosB＜cos（$\frac{π}{2}$-A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$|，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
由$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}=5$
则$（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}）•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{6}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{BC}=5$，
即$-\frac{1}{6}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）=5$
则${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-30$
又BC=5
则有$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{6}{5}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}＞|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③