Question

已知数列{a_n}中，a_l=1，a_n+1=a（1+

1

n

）a_n（a∈R且a≠0）．
（1）若b_n=

an

n

，求数列{b_n}，{a_n}的通项公式；
（2）求数列{an）的前n项和|Sn．
（3）当a=1/3时，若存在n∈N*使sn＜c成立，求c的范围．

Answer 1

分析：（1）将a_n+1=a（1+

1

n

）a_n变形得

an+1

n+1

=a•

an

n

，构造出等比数列{b_n}的递推关系式，再去求{b_n}，{a_n}的通项公式
（2）由（1）得出a_n=n•a ^n-1，可用错位相消法求Sn．^_．
（3）若存在n∈N*使sn＜c成立，只需c大于sn的最小值即可，转化成求sn的最小值．

解答：解：（1）a_n+1=a（1+

1

n

）a_n，得

an+1

n+1

=a•

an

n

，又b_n=

an

n

，
∴b_n+1=a•b_n
∴数列{bn}是首项b1=1，公比为a的等比数列
∴bn=a ^n-1，a_n=n•a^n-1
（2）
当a=1时Sn=1+2+3+…+n=

n2+n

2

当a≠1时Sn=a⁰+2a¹+3a²+…+na^n-1①
aSn=a¹+2a²+3a³+…+naⁿ②
①-②得
（1-a）Sn=a⁰+a¹+a²+…a^n-1-naⁿ=

1-an

1-a

-nan
Sn=

1-an

(1-a)2

-

nan

1-a

=

nan+1-(n+1)an+1

(1-a)2

综上Sn=

n2+n 2         a=1 nan+1-(n+1)an+1 (1-a)2     a≠1

当a=

1

3

时，Sn=

n( 1 3 )n+1-(n+1)( 1 3 )n+1

(1- 1 3 )2

=

9

4

•(

1

3

)n+1• (-2n-3)+

9

4

Sn+1-Sn=

9

4

•(

1

3

)n+2•[ -2(n+1)-3]+

9

4

-

9

4

•(

1

3

)n+1• (-2n-3)-

9

4

=

9

4

•(

1

3

)n+2 •(4n+4)＞0
∴{Sn}是递增数列，当n=1时Sn有最小值S₁=1
故c＞1．

点评：本题考查叠加法求通项，错位相消法求和，数列的函数性质、考查变形转化能力、计算能力，分类讨论思想方法．