Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱BC，DC上的动点，且BE=CF．
（1）求证：B₁F⊥D₁E；
（2）当三棱锥C₁-FCE的体积取到最大值时，求二面角C₁-FE-C的正切值．

Answer 1

解：（1）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
设BE=CF=b，
则D₁（0，0，a），E（a-b，a，0），F（0，a-b，0），B₁（a，a，a），
所以，，
所以 ，
所以B₁F⊥D₁E．
（2）由题意可得：当三棱锥C₁-FCE的体积取到最大值时，即其底面积△FEC最大，即S_△FEC=b（a-b）最大，
由二次函数的性质可得：当b=时，其底面积取最大值，即点E、F分别是
BC、CD的中点，
所以C₁F=C₁E，CE=CF．
取EF的中点为O，连接C₁O，CO，
所以C₁O⊥EF，CO⊥EF，
所以∠C₁OC为二面角C₁-FE-C的平面角．
在△C₁OC中，C₁C=a，CO=，所以tan∠C₁OC=2．
所以二面角C₁-FE-C的正切值为2．
分析：（1）因为是正方体，又是空间垂直问题，所以易采用向量法，所以建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，欲证B₁F⊥D₁E，只须证 再用向量数量积公式求解即可．
（2）由题意可得：当三棱锥C₁-FCE的体积取到最大值时，即其底面积△FEC最大，可得点E、F分别是BC、CD的中点时取最大值，再根据线面关系得到∠C₁OC为二面角C₁-FE-C的平面角，进而利用解三角形的有关知识求出答案即可．
点评：本题主要考查向量证明线线的垂直关系，以及考查几何体的体积与二面角的平面角等问题，也可以利用向量的方法解决二面角的问题，次方法比较方便灵活，是常考类型，属中档题．