Question

已知△ABC和不共面，如图所示．(1)若直线，，两两相交，求证：这三条直线交于一点；

(2)若直线AB与，BC与，CA与分别相交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)∵两两相交，假设． 相交，可知共面，设为α．同理也共面，设为β． 由于平面β，平面α， ∴M∈平面β，M∈平面α． ∴平面α与平面β的交线应经过点M． 易证平面α∩平面，即． ∴三条直线相交于一点． (2)由题意知，， ∵P∈正直线AB，P∈直线． 又∵直线平面ABC，直线平面， ∴P∈平面ABC，且P∈平面， ∴点P在平面ABC与平面的交线上． 同理可证，Q、R两点也在平面ABC与平面的交线上． 即P、Q、R三点共线．

提示：

(1)要证相交于一点，可先给出两条直线相交于某一点，再证该点在另外的一条线上；(2)要证P、Q、R三点共线，可先找到两个平面，只要证明P、Q、R三个点都在这两个平面内即可．