题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）经过点 $数学公式$ ，其离心率为 $数学公式$ ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，且经过椭圆C的右焦点F，与C交于A，B两点，点P满足 $数学公式$ ，试判断是否存在这样的实数k，使点P在椭圆C上，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知可得 $\text{[math]}$ ，所以3a²=4b²①
又点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上，所以 $\text{[math]}$ ②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．…（5分）
（Ⅱ）椭圆C的右焦点F（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1）
则由 $\text{[math]}$ 消y化简整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0------（7分）
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），则
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．-------------（9分）
设P在椭圆C上，所以 $\text{[math]}$ ．
从而 $\text{[math]}$ ，化简得4k²=3+4k²，无解
所以不存在这样的实数k，使点P在椭圆C上------------------------------------------------（12分）
分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，可得3a²=4b²，利用点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上，可得 $\text{[math]}$ ，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）与椭圆方程联立，消元，利用 $\text{[math]}$ ，确定坐标之间的关系，利用韦达定理，可得P的坐标，设P在椭圆C上，利用椭圆方程，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定P的坐标是关键．