Question

已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、BC、AB的中点，
（1）求直线EF和平面ABCD所成角的正切值；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）在棱B₁C₁上求一点M，使得DG⊥平面EFM。

Answer 1

（1）解：在正方体AC1中， ∵AA1⊥AD，AA1⊥AB， ∴AA1⊥平面ABCD，连结AF， 则∠EFA就是EF与平面ABCD所成的角， 设正方体棱长为a， ∵点F是BC的中点， ∴AF=， 而AE=， 则在Rt△EAF中，tan∠EAF=为所求。 （2）证明：在正方形ABCD中， ∵G是AB的中点，F是BC的中点， ∴DG⊥AF， ∵EA⊥平面ABCD，由三垂线定理， ∴DG⊥EF； （3）解：当点M在棱B1C1的中点时，DG⊥平面EFM； 证明如下：连结MF、EM， ∵F是BC的中点， ∴MF∥BB1， ∵BB1∥AA1， ∴MF∥AA1， ∵AA1⊥平面ABCD， ∴MF⊥平面ABCD， ∴MF⊥DG， ∵DG⊥EF， ∴DG⊥平面EFM。